polynomial and equation in hindi

 

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Friends, मैं हूँ Dheeraj Sahni and you are on my website www.mathshindi.com right now. आपका बहुत-बहुत स्वागत है मेरी इस website पर। इस website पर आपको maths से related complex topic को easy way में समझाया जाता है और सिर्फ नहीं वो complex topics आपको अच्छे से समझ में आ जाये इसके लिए आपको उन topics से related examples/questions भी दिए जाते हैं। 

Friends, आज में आपको बताने वाला हूँ Pair of Linear Equations in Two Variables के बारे में। इस article में, मैं आपको बताऊंगा की Pair of Linear Equations in Two Variables क्या होता है और इस type के equations को कैसे solve करते हैं। So friends,

Let's begin...

Pair of Linear Equations in Two Variables का मतलब क्या होता है?- ये जानने से पहले मैं आपको recommend करना चाहूंगा की आप मेरे इस article- What is polynomial and equation? को पढ़ें और ध्यान से समझें।

इस article का link मैं आपको यहाँ दे रहा हूँ, इस article को पढ़ने के लिए इस blue link पर click कीजिये»»»
[What is polynomial and equation?]

I hope की आप लोग इस article को पढ़कर polynomials और equations के बारे में अच्छे से समझ गए होंगे।

So friends, चलिए आगे बढ़ते हैं...

Friends, अब बात करते हैं आज के topic की– Pair of Linear Equations in Two Variables

Friends, जैसा की इसके नाम से ही clear है की Pair of Linear Equations in Two Variables में दो linear equations होते हैं जिनमें दो variables होते हैं। Pair of Linear Equations in Two Variables इस general form में होते हैं–

 

                 a₁x + b₁y + c₁ = 0
                 a₂x + b₂y + c₂ = 0

जहाँ पर a₁ , b₁ , c₁ , a₂ , b₂ , c₂ ये सभी real numbers हैं और a₁²+b₁²≠0,
a₂²+b₂²≠0 या फिर short में कहें तो a₁≠0 , b₁≠0 , a₂≠0 , b₂≠0 (c₁ और c₂ zero के equal हो सकते हैं)।
Example के लिए-          2x+3y–7=0
                                और 9x–2y+8=0.
चलिए एक और example लेते हैं-
               5x=y
    और   –7x+2y=3.
इसे देखने से ऐसा नहीं लगता है की ये दोनों equations, 
a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 के form (रूप) में हैं। लेकिन हम इन्हें rearrange करके इस form में लिख सकते हैं। Rearrange करने पर इन दोनों equations का form ये हो जाता है-
             5x+(–1)y+0=0
और  (–7)x+2y+(–3)=0
जो की Pair of Linear Equations in Two Variables के general form के equivalent है।

ये तो पता चल गया आपको की Pair of Linear Equations in Two Variables क्या होता है। अब आप जानते हैं की किसी भी equation का एक या एक से ज़्यादा solutions जरूर होते हैं (चाहे वो solution real हो या complex number हो)।

[अगर आप नहीं जानते की real numbers और complex numbers किसे कहते हैं तो ये जानने के लिए इस blue link पर click कीजिये»»»
 What is complex number,real number,irrational number, rational number,integer,whole number,natural number?]

और उस equation को solve करने का method (तरीका) भी जरूर होता है। मेरे ये सब बोलने का motive यही था जो आप अभी सोच रहे हो। आपके mind में अब ये question arise हो रहा होगा की Pair of Linear Equations in Two Variables के कितने solution होते हैं और इसे solve करने का क्या तरीका (method) होता है? (Am I right?)

चलिए अब बात करते हैं Pair of Linear Equations in Two Variables के solution की और हम कैसे/किस method से Pair of Linear Equations in Two Variables को solve कर सकते हैं।

Friends, मैं आपको ये बता देना चाहता हूँ की किसी Pair of Linear Equation in Two Variables को solve करने का मतलब ये होता है की उस Pair of Linear Equation in Two Variables में जितने भी variables हैं उनकी value पता (find) करना। Kisi Pair of Linear Equations in Two Variables के solution के लिए तीन situations होती हैं:

1. One(unique) solution
2. Infinitely many solutions
3. No solution.

मतलब किसी Pair of Linear Equation in Two Variables का एक (one) unique solution हो सकता है। ये  भी हो सकता है की किसी Pair of Linear Equation in Two Variables के बहुत सारे (infinitely many) solutions हों। और यर भी possible है की किसी Pair of Linear Equation in Two Variables का कोई solution ना हो (no solution).

किसी भी Pair of Linear Equation in Two Variables को solve करने के दो method होते हैं–

1. Graphical (or) Geometrical method
2. Algebraic method

अब algebraic method तीन तरह (type) के होते हैं–

(a) Substitution method
(b) Elimination method
(c) Cross multiplication method

तो अगर एक तरह से देखा जाए तो basically Pair of Linear Equations in Two Variables को solve करने के चार (four) methods होते हैं–

1. Graphical (or) Geometrical method
2. Substitution method
3. Elimination method
4. Cross multiplication method

इस article में आपको सिर्फ इन चारों में से first method यानी Graphical (or) Geometrical method के बारे में बताऊंगा।

तो आइये जानते हैं Graphical (or) Geometrical method के बारे में...

Graphical (or) Geometrical method

इस method को graphical method इसलिए कहते हैं क्योकिं इसमें Pair of Linear Equations in Two Variables में जो दोनों linear equations (in two variable) होते हैं, उनका graph draw करना पड़ता है।

किसी भी Pair of Linear Equations in Two Variables को graphical method से solve करने के लिए उस Pair of Linear Equation in Two Variables में जो दोनों linear equation (in two variables) होते हैं उन् दोनों के graph एक ही Cartesian plane (graph paper) पर draw कर लिया जाता है [इन दोनों का graph एक straight line होता है और इसी वजह से इन्हें linear कहा जाता है; linear equation ka matlab hota hai– aisa equation jiska graph ek straight line ho]. Aur jiss point par dono linear equation (in two variables) ke graph ek doosre ko intersect karte hain ; uss point ki values/coordinates hi uss Pair of Linear Equation in Two Variables ka solution(one unique solution) hoti hain. Agar dono ke graph kisi bhi point par intersect naa karein to uss Pair of Linear Equation in Two Variables ka koi solution nahi hoga(no solution). Agar dono ke graph ek doosre ko sabhi point par intersect karein to uss Pair of Linear Equation in Two Variables ke bohot saare solution honge(infinitely many solutions).

To chaliye iss method se Pair of Linear Equations in Two Variables se related kuch problems ko solve karte hain...

Ex.1. Solve the Pair of Linear Equation in Two Variables x+2y=4 and 3x–y=5 using graphical method.

Solution:-  Iss Pair of Linear Equation in Two Variables ko solve karne ke liye sabse pehle hame x+2y=4 ka graph draw karna hoga aur phir ussi Cartesian plane(graph paper) par
 3x–y=5 ka graph draw karna hoga. To start karte hain x+2y=4 ka graph draw karna se. Iska graph draw karne ke liye iss equation ko y ke form me likhna hoga. y ke form me likhne par ye equation iss tarah ka ho jaayega-
               y=4-x
                     2
Ab isme apni taraf se x ki kuch values rakhte hai. Hum x ki value koi bhi real number rakh sakte hain but hame x ki values wahi rakhni chahiye jo small aur simple number ho. Kam se kam 4 ya 5 values, x ki ,apni taraf se rakh lijiye. Aur phir usse unke respective y ki 4 ya 5 values bhi aapko milengi. Jaise ki iss table ko dekhiye–

Isme maine apni taraf se x ki 5 values-
–4, –2, 0, 2 aur 4 li hai. Phir har(each) x ki value ke liye y ki ek value likaali. Aur y ki value ko table me uski x ki value ke neeche rakh diya. Ab isse hame har(each) x aur y ki value se ek point milta hai. Yaha par hame 5 points milte hain:  (–4,4), (–2,3), (0,2), (2,1) aur (4,0).
Ab inn paancho points ko ek graph paper par plot karte hain aujr phir inn paancho points ko ek straight line se mila dete hain. Iss tarah se equation x+2y=4 ka graph draw ho jaata hai.

Ab hame equation 3x–y=5 ka graph draw karna hai. Iske liye hame iske saath bhi wahi sab karna hoga jo hamne pehle equation ke saath kiya. Ye sab karne ke baad iska bhi graph draw ho jaayega. Iska graph bhi ussi graph paper par draw karna hai jis par hamne pehle waale equation ka graph draw kiya tha. Dono equations ka graph draw karne ke baad wo aapko kuch iss tarah ka dikhega-

                                        

Dono equations  x+2y=4 and 3x–y=5 ke graph ek doosre ko point (2,1) par intersect kar rahe hain. So, Pair of Linear Equation in Two Variables x+2y=4 and 3x–y=5 ka solution (2,1) hai jisme x=2 aur y=1 hai.
(Exactly one/unique solution)
(Intersecting lines)

Ex.2. Solve the Pair of Linear Equation in Two Variables 6x–3y=12 and y=2x–4 using graphical method.

Solution:-  Iss Pair of Linear Equation in Two Variables ko solve karne ke liye same wahi procedure follow karna hoga jaisa ki Ex.1. me kiya gaya hai. Ye sab kuch karne ke baad inn equations 6x–3y=12 and y=2x–4 ka graph kuch iss tarah se banega-

Dono equations ke graph ek doosre ko poori tarah se cover kar rahe hain. Inn dono equations ke graph coincident lines hain. Inn dono equations ka graph ek hi straight line hain ya phir ye bhi keh sakte hain ki inn dono equations ke graph ek doosre ko har(every) point par intersect kar rahe hain. So, iss line par aane waale saare points ,Pair of Linear Equation in Two Variables 6x–3y=12 and y=2x–4 ke solutions hain. Jaise ki (0,–4), (2,0), (1,–2) etc. inke solutions hain. Ye sabhi points inke graph par aate hain.

     x= 0, 2, 1, ...

     y= –4, 2, –2, ...  etc. iske solutions hain.

(Infinitely many solutions)

(Coincident lines)

Ex.3. Solve the Pair of Linear Equation in Two Variables 3x–2y=2 and 3x–2y= –2 using graphical method.

Solution:-  Iss Pair of Linear Equation in Two Variables ko solve karne ke liye bhi same to same waisa hi karenge jaisa ki upar bataye gaye dono examples me kiya gaya hai. Phir iss tarah inn dono equations 3x–2y=2 and 3x–2y= –2 ka graph draw ho jaayega. Graph draw hone ke baad wo aapko kuch iss tarah ka dikhega–

Inke graph ko dekhne se ya pata chal raha hai ki inn dono equations 3x–2y=2 and 3x–2y= –2 ke graph ek doosre ko kahi par bhi nahi intersect kar rahe hai aur naa hi inn lines ko aagae badhaane par kabhi intersect karenge. Ye dono lines parallel hain. So, iss Pair of Linear Equation in Two Variable 

3x–2y=2 and 3x–2y=–2 ka koi solution nahi hai.

(No solution)
(Parallel lines).

Ab zara iss situation par vichaar kijiye. Maan lijiye ki aap ek Pair of Linear Equation in Two Variables ko graphical method se solve kar rahe hai. Aisa karne ke liye aapne sabse pehle kisi dono me se kisi ek equation ko y ke form me likha , phir apni taraf se x ki kuch vakues rakhi aisa karne ke baad aapko sabi x ki values ke corresponding y ki values bhi mil gayi. Aapne sabhi points ko graph paper par plot bhi kar diya. Ab usse aapko iss equation ka graph mil gaya. Ab doosre bache hue equation ka graph draw karne ke liye bhi aapne phir se yahi sab kiya jo pehle equation ka graph draw karne ke liye kiya tha. Dono equations ka graph draw Karne ke baad aapko ye dekhne ko milta hai ki dono equations ke graph parallel straight lines hai matlab aapko ye pata chalta hai ki uss Pair of Linear Equation in Two Variables ka koi solution hai hi nahi. To bataiye aapko kaisa lagega. Aapki ssari mehnat aur uss problem ko solve karne me laga time barbaad/waste ho jaayegi.

To yaha par aapke mind me ye question hit hona chahiye ki kya koi aisa tarikaa/way/method nahi hai jisse hum ye dekhte hi bata de ki kisi Pair of Linear Equation in Two Variables ka solution hai bhi ki nahi.

Iska sawaal ka jawaab hai haa! Aisa ek method hai jisse hum ye dekhte hi bata de ki kisi Pair of Linear Equation in Two Variables ka solution hai bhi ki nahi. Aur sirf ye hi nahi, iss method ke prayog(use) se hum ye bhi bata saktae hain ki kisi Pair of Linear Equation in Two Variables ka ek(one) unique solution hai ya infinitely many solutions.

Ab chaliye dekhte hain ki ye method kya hai aur ise kaise use karte hain.

Sabse pehle hum diye gaye Pair of Linear Equation in Two Variables me a₁/a₂ aur b₁/b₂ nikaal lete hain. Agar ye dono equal nahi hai to uss Pair of Linear Equation in Two Variables ka graph intersecting lines hoga aur iss tarah iss situation me sirf ek(one) unique solution hoga. Agar a₁/a₂ aur b₁/b₂ equal hain to hum c₁/c₂ nikaalte hain. Agar c₁/c₂ , a₁/a₂ aur b₁/b₂ ke equal hai to uss Pair of Linear Equation in Two Variables ka graph coincident lines hoga aur iss tarah iss situation me infinitely many solutions honge. Aur agar c₁/c₂ , a₁/a₂ aur b₁/b₂ ke equal nahi hai to uss Pair of Linear Equation in Two Variables ka graph parallel lines hoga aur iss tarah iss situation me koi solution nahi hoga.
Iss table ko dekhkar aap iss method ko acche se samajh jaayenge-

[Note:- Jin Pair of Linear Equations in Two Variables ka solution hota hai chahe wo ek ho ya infinitely many, unhe consistent kehte hai aur jin Pair of Linear Equations in Two Variables ka koi bhi solution nahi hota usse inconsistent kehte hain].

I hope ki aapko mera ye article pasand aaya hoga aur mujhe ummeed hai ki aapko Pair of Linear Equations in Two Variables ke baare me kafi jaankari mili hogi. Maine aapko aasaan sabdo me Pair of Linear Equations in Two Variables ke baare me samjhaane ki koshish ki hai.

I hope ki aapko sab kuch acche se samajh me aa gaya hoga.Aur agar aapko koi cheez samajh me nahi aayi ho to commemt ke through aap hame bata sakte hain. Agar aapko ye post accha laga ho to comment ke maadhyam se aap hame support kar sakte hai.

Aapne is article ko padhkar kya seekha?

CHECK YOUR KNOWLEDGE
Give answers:
Q.1-Is the Pair of Linear Equations in Two Variables 5x-4+8=0 and 7x+6y–9=0 consistent?
Q.2-Which type of graph has the Pair of Linear Equations in Two Variables 9x+3y+12=0 and 18x+6y+24=0 ; intersecting lines, coincident lines or parallel lines?
Q.3-Solve the Pair of Linear Equations in Two Variables 6x–3y+10=0 and 2x–y+9=0 by substitution method?

Aap apne answers hame comment ke through bata sakte hain.


THANKS FOR READING THIS BLOG.

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